低秩分解
低秩分解
foresta.yang低秩分解的几何解释
低秩分解（Low-rank factorization）也可以通过几何的方式来解释，帮助我们理解其含义和应用。
假设我们有一个m×n的矩阵A，我们希望对其进行低秩分解，即将其分解为两个低秩矩阵的乘积：A ≈ UV^T。其中，U是一个m×k的矩阵，V是一个n×k的矩阵，k远远小于m和n。
几何上，可以将矩阵A视为描述一个向量空间中的点集。每一列可以看作是一个向量，而这些向量组成了一个n维的向量空间。低秩分解可以理解为通过两个低维的向量空间的点集的线性组合来近似表示原始向量空间中的点集。
具体地说，U矩阵的列向量可以看作是原始向量空间的基向量，它们将原始向量空间中的点集映射到一个低维的子空间。V矩阵的列向量则表示这个低维子空间中的基向量。通过对这两个子空间的基向量的线性组合，我们可以近似表示原始向量空间中的点集。
这个分解可以理解为以下几个几何步骤：
- U矩阵的列向量将原始向量空间中的点集映射到一个低维的子空间。这个子空间具有较低的维度k。
- V矩阵的列向量表示这个低维子空间中的基向量，用于描述子空间中的点集。
- 通过对U和V的线性组合，将低维子空间中的点集映射回原始向量空间，近似重构出原始的点集。
通过低秩分解，我们可以利用较低维度的向量空间来近似表示原始向量空间中的点集。这种近似表示可以在降低存储和计算成本的同时，尽可能地保留原始数据的主要结构和特征。
综上所述，几何视角可以帮助我们将低秩分解理解为通过两个低维子空间的基向量的线性组合来近似表示原始向量空间中的点集，从而实现对原始数据的降维和近似表示。这种几何解释有助于我们理解低秩分解的概念和原理。
奇异值分解的几何理解
奇异值分解（SVD）可以通过几何的方式来解释，从而帮助我们理解其含义和应用。
首先，我们可以将一个矩阵视为对向量空间的一种变换。假设有一个m×n的矩阵A，其中每一列可以看作是一个向量，而这些向量组成了一个n维的向量空间。奇异值分解可以将这个向量空间的变换分解为三个基本的几何操作：旋转、缩放和再次旋转。
具体地说，奇异值分解将矩阵A分解为三个矩阵的乘积：A = UΣVT。其中，U是一个正交矩阵，表示一个旋转操作；Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素是奇异值，表示一个缩放操作；VT是另一个正交矩阵，表示另一个旋转操作。
这个分解可以理解为以下几个几何步骤：
- U对应的旋转矩阵将原始向量空间进行旋转操作，使其与新的基向量相对应。
- Σ对应的对角矩阵进行缩放操作，将每个基向量的长度进行缩放，即改变了向量空间的比例关系。
- V^T对应的旋转矩阵将缩放后的向量空间进行进一步旋转操作，以使其与原始向量空间对齐。
通过奇异值分解，我们可以将原始矩阵A分解为这三个操作的组合，从而更好地理解和描述原始矩阵A的结构和特征。
此外，奇异值分解还提供了一种基于奇异值的重要性排序。奇异值的大小表示了每个基向量在变换中的重要性。较大的奇异值对应的基向量在变换中具有更大的影响力，而较小的奇异值对应的基向量在变换中贡献较小。
综上所述，几何视角可以帮助我们将奇异值分解理解为对向量空间的旋转、缩放和再次旋转等几何操作的组合，从而更好地理解和应用奇异值分解的概念和原理。
